東大入試2020数学第4問＜文理共通問題＞【高校数学】

数学

2020/02/26

こんにちは。

今回は、昨日から今日にかけて行われた東京大学の入学試験のうち、数学で唯一文系理系共通だった第4問を見ていきたいと思います。

問題
解き方
最後に

問題

第　　4　　問
$n, k$ を, $1 \leqq k \leqq n$ を満たす整数とする。$n$ 個の整数

$$
2^m \quad (m = 0, 1, 2, \cdots\cdots, n – 1)
$$

から異なる $k$ 個を選んでそれらの積をとる。$k$ 個の整数の選び方すべてに対しこのように積をとることにより得られる ${}_{n} C_{k}$ 個の整数の和を $a_{n,k}$ とおく。例えば,

$$
a_{4,3} = 2^0 \cdot 2^1 \cdot 2^2 + 2^0 \cdot 2^1 \cdot 2^3 + 2^0 \cdot 2^2 \cdot 2^3 + 2^1 \cdot 2^2 \cdot 2^3 = 120
$$

である。

$2$ 以上の整数 $n$ に対し, $a_{n,2}$ を求めよ。
$1$ 以上の整数 $n$ に対し, $x$ についての整式
$$
f_n (x) = 1 + a_{n,1} x + a_{n,2} x^2 + \cdots\cdots + a_{n,n} x^n
$$

を考える。$\frac{f_{n+1} (x)}{f_n (x)}$ と $\frac{f_{n+1} (x)}{f_n (2x)}$ を $x$ についての整式として表せ。
$\frac{a_{n+1,k+1}}{a_{n,k}}$ を $n, k$ で表せ。

解き方

(1)

異なる $2$ 個の整数の選び方は、以下の表の〇印の部分となります。

表は $n = 4$ の場合を示しています。

	0	1	2	3
0	×	△	△	△
1	〇	×	△	△
2	〇	〇	×	△
3	〇	〇	〇	×

$a_{n,2}$ は、表の〇印の部分をすべて足したものです。

これを求めるためには、まず表の組み合わせをすべて足し、そこから×印の部分を引き、さらに△印の部分を取り除くために $2$ で割ります。

表のすべての組み合わせの和は、以下で表されます。

$$\left( \sum_{k = 0}^{n – 1} 2^k \right)^2 = \left( 2^0 + 2^1 + 2^2 + \cdots + 2^{n – 1} \right)^2$$

表の×印の部分の和は、以下で表されます。

$$\sum_{k = 0}^{n – 1} 2^{2k} = 2^0 \cdot 2^0 + 2^1 \cdot 2^1 + 2^2 \cdot 2^2 + \cdots + 2^{n – 1} \cdot 2^{n – 1}$$

これらを用いて、$a_{n,2}$ は以下のように求められます。

$$\begin{eqnarray*}
a_{n,2} &=& \frac{1}{2} \left( \left( \sum_{k = 0}^{n – 1} 2^k \right)^2 – \sum_{k = 0}^{n – 1} 2^{2k} \right) \\
&=& \frac{1}{2} \left( (2^n – 1)^2 – \frac{1}{3} (2^{2n} – 1) \right) \\
&=& \frac{1}{2} \left( \frac{2}{3} \cdot 2^{2n} – 2 \cdot 2^n + \frac{4}{3} \right) \\
&=& \frac{1}{3} ( 2^{2n} – 3 \cdot 2^n + 2 ) \\
&=& \frac{1}{3} ( 2^n – 1 )( 2^n – 2 )
\end{eqnarray*}
$$

(2)

$n$ を固定して考えると、$a_{n,k}$ の定義から、$f_n (x)$ は次のように表されます。

$$
\begin{eqnarray*}
f_n (x) &=& 1 + a_{n, 1} x + a_{n, 2} x^2 + \cdots + a_{n,n} x^n \\
&=& ( 2^0 x + 1 )( 2^1 x + 1 )(2^2 x + 1 ) \cdots ( 2^{n – 1} x + 1 )
\end{eqnarray*}
$$

このことに気づくと、問いの答えはすぐに求まります。

$$
\frac{f_{n+1} (x)}{f_n (x)} = 2^n x + 1
$$
$$
\begin{eqnarray*}
\frac{f_{n+1} (x)}{f_n (2x)} &=& 2^0 x + 1 \\
&=& x + 1
\end{eqnarray*}
$$

(3)

問題の流れから (2)は誘導問題の可能性が高いので、(2)から求まった以下の関係式に注目します。
（比較しやすいように整式の形に直してあります）

$$
\begin{eqnarray*}
f_{n+1} (x) &=& ( 2^n x + 1 ) f_n (x) &\qquad& \cdots ① \\
f_{n+1} (x) &=& ( x + 1 ) f_n (2x) &\qquad& \cdots ②
\end{eqnarray*}
$$

これらの左辺と右辺を比較します。簡略化のため、$x^{k + 1}$ の係数比較をします。

$$
\begin{eqnarray*}
a_{n+1,k+1} &=& 2^n &a_{n,k}& &+& &a_{n,k+1}& \qquad \cdots ①’ \\
a_{n+1,k+1} &=& 2^k &a_{n,k}& &+& 2^{k + 1} &a_{n,k+1}& \qquad \cdots ②’
\end{eqnarray*}
$$
（表記簡略化のため、$a_{n,n+1} = 0$ としています）

この2式を連立して、不要な文字（ $a_{n,k+1}$ ）を消去します。

$$①’ \times 2^{k + 1} – ②’$$
$$
\begin{eqnarray*}
( 2^{k + 1} – 1 ) a_{n+1,k+1} &=& 2^k ( 2^{n + 1} – 1 ) a_{n,k} \\
\frac{a_{n+1,k+1}}{a_{n,k}} &=& \frac{2^k ( 2^{n + 1} – 1 )}{2^{k + 1} – 1}
\end{eqnarray*}
$$

以上で全問終了となります。